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 Algèbre linéaire invention!!

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carole

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MessageSujet: Algèbre linéaire invention!!   Lun 8 Aoû 2011 - 14:25

🆒

Algèbre linéaire invention!!!
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carole

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MessageSujet: Re: Algèbre linéaire invention!!   Lun 8 Aoû 2011 - 14:26

:croire:
Histoire[modifier]

L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès. Après cette découverte, les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés des déterminants par Jean d'Alembert.
Ce n'est qu'au xixe siècle que l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions. En 1844, Hermann Grassmann publie un livre Die lineare Ausdehnungslehre.
Le début du xxe siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omni-présente dans presque tous les domaines mathématiques.
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MessageSujet: Re: Algèbre linéaire invention!!   Lun 8 Aoû 2011 - 14:27

rabbit
Georg Frobenius (1849-1917), à la suite de travaux de Richard Dedekind (1831 1916) développe une nouvelle théorie1 en 1896. Elle se fonde sur l'idée que l'ensemble des symétries d'un espace vectoriel possède une structure de groupe. Il est toujours possible de représenter un groupe fini par des symétries bien choisies sur un espace vectoriel de dimension suffisante. Un groupe est ainsi incarné par des transformations géométriques simples. Une telle incarnation prend le nom de représentation d'un groupe.
Les espaces vectoriels choisis sont de dimension finie, en général sur le corps des complexes2, cependant pour disposer de bonnes propriétés arithmétiques le corps peut être celui des rationnels3 ou encore utiliser des entiers algébriques comme pour la démonstration du théorème de William Burnside (1852-1927) sur les groupes résolubles4. Richard Brauer (1901-1977) étudie un cas très abstrait, celui des représentations sur un espace vectoriel construit à l'aide d'un corps fini5.
Un exemple relativement simple d'utilisation de cette théorie est donné par Burnside, avec son théorème sur les groupes de type fini et d'exposant fini6.
Anneau[modifier]
Article détaillé : théorie des anneaux.


Emmy Noether utilise la notion d'espace vectoriel pour étudier les anneaux portant maintenant son nom.
Un exemple célèbre d'anneau disposant aussi d'une structure d'espace vectoriel est celui des polynômes à coefficients dans un corps. Cet espace vectoriel, de dimension infinie, est largement utilisé en algèbre linéaire, à travers par exemple le polynôme minimal ou caractéristique. Le morphisme canonique entre les polynômes et les applications linéaires d'un espace vectoriel est à l'origine d'une structure d'algèbre qui est un anneau, si la multiplication externe est oubliée.
Cette méthode permet d'élucider la structure de certains anneaux. Si la caractéristique d'un anneau est soit nulle soit égale à un nombre premier, alors l'anneau est aussi un espace vectoriel sur tout sous-anneau disposant d'une structure de corps. C'est par exemple le cas du plus petit sous-anneau contenant l'unité. L'espace vectoriel ressemble à la structure développée par Grassman. Cette remarque est utilisée au début du xxe siècle, en particulier par Emil Artin (1898 - 1962) et Emmy Noether (1882 - 1935) pour élucider cette structure dans le cas des anneaux artiniens et noethériens, qui sont des copies de sous-algèbres sur un espace vectoriel construit sur sous-anneau qui s'avère être un corps.
Un exemple est la généralisation du théorème de Joseph Wedderburn (1882 - 1948) par Artin et portant maintenant le nom d'Artin-Wedderburn. Il est important en algèbre non commutative. Ce théorème permet, par exemple, de construire le corps des quaternions à l'aide d'une représentation du groupe associé sur un espace vectoriel réel de dimension quatre.
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MessageSujet: Re: Algèbre linéaire invention!!   Lun 8 Aoû 2011 - 14:28

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